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日志

 
 

数学的精髓  

2010-07-28 14:29:44|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学思想方法是数学的本质之所在,是数学的精髓。日本著名数学教育家米山国藏,作为一个教育家他深深感到,许多在学校学的数学知识,如果毕业后进入社会没有什么机会去用的话,不到一年就忘掉了,“然而,不管他们从事什么业务工作,惟有深深铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法和着眼点(若培养了这方面的素质的话),却随时随地的发生作用,使他们终身受益”。在数学课堂中进行数学思想方法的教学,不仅能够提高课堂教学效益,减轻学生学习负担,而且有利于人才的培养,有利于学生素质的提高。 

一、知识、思想方法与能力的关系

什么是能力?数学知识、数学思想方法和学生的数学能力之间有什么关系?打一个比方,数学知识是一堆零件,思想方法则是一张设计图纸,而所谓能力,就是要求学生依据图纸,把这堆零件组装成一台完整的机器。可见,数学知识和思想方法都是形成能力的必要因素。从哲学观点看,知识和思想方法之间相互依存,彼此联系,是形式和内容的关系。教材中的知识点是数学的外在形式,而思想方法则是数学的内在体现,是数学的本质。数学知识是基础,没有数学知识,思想方法就无法立足,无所依托;而没有思想方法,知识就会显得零散、僵化,缺乏活力,无法灵活运用。布鲁纳指出:掌握数学思想方法可以使数学更容易理解和记忆,更重要的是领会数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”,如果把数学思想和方法学好了,在数学思想方法的指导下解决数学问题,数学学起来就较容易。数学教材的每一章、每一道题,都体现数学知识和数学思想方法这两个方面的有机结合。在教学实际中,由于数学知识的外显性,更容易为学生所接受;而数学思想方法则隐含于数学知识内部,因而不容易为师生所发现,更不容易为学生所接受。所以,如何在数学课堂中进行思想方法的提炼和渗透,对数学课堂教学质量的提高、学生能力的形成就显得尤为重要。

二、如何进行数学思想方法的教学

由于数学思想方法的内在性,给学生的理解和老师的教学都带来了一定的难度,因而在平时的教学中要讲究一定的策略,才会取得事半功倍的效果。

1、各个击破的策略。数学思想方法与具体的数学知识是一个有机整体,它们相互联系,互相影响。大量数学知识中蕴含着丰富的数学思想和方法,具有高度的抽象性和概括性。同时,不同的章节、不同的数学知识又往往蕴含着不同的思想方法。所以在课堂教学中对隐藏在各章节数学知识背后的思想方法要及时地提炼出来,使之明朗化,要让学生明明白白地认识到这种思想方法的存在,让学生感受到这种思想方法在解题中所起的不可替代的作用,并能在类似的情形下主动地加以运用。这样才能通过对具体的知识传授这一载体来突出相应的数学思想方法的教学目的。有时在一章或一单元的教学中,涉及很多的数学思想方法,就需要教师根据教材内容有意识突出一种或几种思想方法的教学,如在不等式单元教学中将会涉及函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。

2、反复递进的策略。人们认识事物必须遵循认识的一般规律,即从个别到一般,从具体到抽象,从低级到高级,从感性到理性的螺旋式递进过程。同样学生对数学思想方法的认识也都是在反复接触、理解和运用中形成的。例如在初中讲数轴应用时,就开始初步涉及数形结合思想,学生要会借助数轴表示相反数、绝对值、比较实数的大小等,在高中讲集合运算时,要求学生用数轴求出不等式解集的交集、并集与补集等,这样让学生逐步形成借助于图形解决代数问题的理念,后来不断地通过对基本函数图象及其变换,平面解析几何等有关知识的学习,进一步加深了对数形结合思想的理解和应用,从而对数形结合思想方法的认识得到不断升华提高。又如分类讨论的思想,几乎每一章都会涉及到。因此在平时的教学中要注意到这种反复性,同一种思想方法在这一章出现了,在下一章可能还会出现,教师就要有意识让学生在这种反复接触、理解、运用、体验中不断加深对这种思想方法的认识和掌握。
3、分层渐进的策略。学生对数学思想方法的掌握一般要经过三个层次:感知、模仿、灵活运用。第一层次是对数学思想方法的感性认识,即学生对教师在课堂上解题过程中所使用的思想方法和策略有所认识,能够初步理解,能够体会到这种思想和策略给解题带来的变化,也会在解题后概括总结出来。 第二层次就是学会模仿,即学生在理解了教师所讲解的思想和方法后,套用教师的做法去完成类似的题目,学会模仿运用数学思想。第三层次是对数学思想方法的灵活运用,学生能根据具体的数学问题,恰当运用某种思想方法进行解决。可见,对数学思想方法的教学不可能作到一步到位,而是一个循序渐进的过程,它是一个理解——运用——再理解——再运用……不断提高的过程。因此在数学课堂教学中教师要按照“逐步理解、不断重复、自觉应用”的顺序来进行数学思想方法的教学。

三、高中数学中要加强哪些数学思想方法

高中数学中所蕴含的数学思想方法有很多,要让学生把所有的思想方法都掌握到是不现实的。因此,我们只能根据学生的接受能力和现在高考的要求,适当地选取一些重要的有代表性的思想方法加以重点讲解和突破。根据本人多年的教学体会,我觉得可以对如下的数学思想方法加以重点关注。

1、函数与方程思想。函数与方程是高中数学的重要组成部分,是高中代数的主线,它体系完整、内容丰富、应用广泛。在历年高考试题中,对函数与方程及其思想、方法的考查,遍布于代数、三角、几何以及各类题型(选择题、填空题、解答题)的题目之中。函数与方程的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系,因而函数与方程思想的教学,既有着不可替代的重要位置,又有着重要的现实意义。函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。

2、分类讨论思想。在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③ 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。

3、数形结合思想。数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。

4、转化与化归思想。转化与化归是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考,转化与化归思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。著名的数学家,莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
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